ریاضی دہم — مشق 1.4 · سوال 2 (iii)

مکمل سوال

مرکب اعداد z، w کی بیک وقت مساواتیں حل کریں۔

مرحلہ وار حل

1. دو نامعلوم مرکب اعداد z، w کی دو مساواتیں ہیں۔

   $$(-4\times w+z=3\times i,3\times w+2\times z=11-5\times i)$$

2. پہلی مساوات کو دوسری میں w کے عددی سر، دوسری کو پہلی میں w کے عددی سر سے ضرب دیں۔

   $$(-12\times w+3\times z=9\times i,-12\times w-8\times z=20\times i-44)$$

3. تفریق کریں؛ w کے اجزا ختم۔ باقی عددی سر i² = −1 سے پھیلائیں۔

   $$11\times z=44-11\times i$$

4. اصل کسر سے شروع کریں۔ ضربی معکوس میں صورت 1 ہوتا ہے۔

   $$\frac{44-11\times i}{11}$$

5. مخرج کا مرافق معلوم کریں: حقیقی جزو برقرار اور امیجنری الجبری علامت الٹ دیں۔

   $$11$$

6. مرافق کو اسی مرافق پر تقسیم کر کے ضرب دیں؛ یہ کسر 1 ہے۔

   $$\left(\frac{11}{11}\right)\times \left(\frac{44-11\times i}{11}\right)$$

7. صورتیں آپس میں اور مخرج آپس میں ضرب دیں۔ قوس برقرار رکھیں۔

   $$\frac{11\times \left(44-11\times i\right)}{11\times 11}$$

8. پہلے صورت کا حساب کریں۔

9. پہلا قوس پھیلائیں: حقیقی جزو کو پورے دوسرے قوس سے، پھر امیجنری جزو کو اسی قوس سے ضرب دیں۔

   $$44\times 11-11\times 11\times i$$

10. ان دونوں حاصل ضرب کو پھیلائیں۔ چاروں ضربیں واضح رکھیں۔

    $$44\times 11+44\times 0\times i-11\times 11\times i-11\times 0\times ii$$

11. حقیقی ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$44\times 11=484$$

12. حقیقی ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$44\times 0\times i=0\times i$$

13. امیجنری ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$-11\times 11\times i=-121\times i$$

14. امیجنری ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$-11\times 0\times ii=0\times i^2$$

15. یہ چار حاصل ضرب پھیلاؤ میں رکھیں۔

    $$484+0\times i-121\times i+0\times i^2$$

16. آخری جزو میں i² کی جگہ −1 رکھیں۔

    $$0\times i^2=0\times \left(-1\right)$$

17. اس کے عددی سر کو −1 سے ضرب دیں۔

    $$0\times \left(-1\right)=0$$

18. الجبری علامت کا حساب کرنے کے بعد پھیلاؤ دوبارہ لکھیں۔

    $$484+0\times i-121\times i+0$$

19. حقیقی اجزا جمع رکھیں اور امیجنری اجزا سے i مشترک نکالیں۔

    $$484+0+i\times \left(0-121\right)$$

20. حقیقی اجزا کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$484+0=484$$

21. امیجنری عددی سروں کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$0-121=-121$$

22. حاصل شدہ دونوں مجموعے a + bi میں رکھیں۔

    $$484-121\times i$$

23. اب مخرج کا حساب الگ سے کریں۔

24. پہلا قوس پھیلائیں: حقیقی جزو کو پورے دوسرے قوس سے، پھر امیجنری جزو کو اسی قوس سے ضرب دیں۔

    $$11\times 11+0\times 11\times i$$

25. ان دونوں حاصل ضرب کو پھیلائیں۔ چاروں ضربیں واضح رکھیں۔

    $$11\times 11+11\times 0\times i+0\times 11\times i+0\times 0\times ii$$

26. حقیقی ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$11\times 11=121$$

27. حقیقی ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$11\times 0\times i=0\times i$$

28. امیجنری ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$0\times 11\times i=0\times i$$

29. امیجنری ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$0\times 0\times ii=0\times i^2$$

30. یہ چار حاصل ضرب پھیلاؤ میں رکھیں۔

    $$121+0\times i+0\times i+0\times i^2$$

31. آخری جزو میں i² کی جگہ −1 رکھیں۔

    $$0\times i^2=0\times \left(-1\right)$$

32. اس کے عددی سر کو −1 سے ضرب دیں۔

    $$0\times \left(-1\right)=0$$

33. الجبری علامت کا حساب کرنے کے بعد پھیلاؤ دوبارہ لکھیں۔

    $$121+0\times i+0\times i+0$$

34. حقیقی اجزا جمع رکھیں اور امیجنری اجزا سے i مشترک نکالیں۔

    $$121+0+i\times \left(0+0\right)$$

35. حقیقی اجزا کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$121+0=121$$

36. امیجنری عددی سروں کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$0+0=0$$

37. حاصل شدہ دونوں مجموعے a + bi میں رکھیں۔

    $$0\times i+121$$

38. مخرج کا امیجنری عددی سر صفر ہے، اس لیے مخرج حقیقی ہے۔

    $$121=121$$

39. حاصل صورت کو حاصل مخرج پر رکھیں۔

    $$\frac{484-121\times i}{121}$$

40. حقیقی اور امیجنری جزو کو اسی مخرج والی دو کسروں میں الگ کریں۔

    $$\frac{484}{121}+\frac{-121\times i}{121}$$

41. i کو عددی کسر سے باہر رکھیں۔

    $$\frac{484}{121}+\left(-\frac{121}{121}\right)\times i$$

42. حقیقی عددی سر کے صورت اور مخرج دونوں کو 121 پر تقسیم کریں۔

    $$\frac{484}{121}=\frac{\frac{484}{121}}{\frac{121}{121}}$$

43. حقیقی عددی سر کی کسر سادہ کریں۔

    $$\frac{484}{121}=4$$

44. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{\left(-121\right)\times 1}{1\times 121}$$

45. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$-\frac{121}{121}$$

46. صورت اور مخرج کا یہ عادِ اعظم ہے۔ دونوں کو اس پر تقسیم کریں۔

    $$\mathrm{GCD}=121$$

47. دونوں تقسیمیں واضح لکھیں۔

    $$\frac{-\frac{121}{121}}{\frac{121}{121}}$$

48. مخرج کی تقسیم معلوم کریں۔

    $$\frac{121}{121}=1$$

49. مختصر کسر لکھیں۔

    $$-\frac{1}{1}$$

50. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(-121\right)\times \frac{1}{121}=-1$$

51. امیجنری عددی سر کے صورت اور مخرج دونوں کو 121 پر تقسیم کریں۔

    $$-\frac{121}{121}=\frac{-\frac{121}{121}}{\frac{121}{121}}$$

52. امیجنری عددی سر کی کسر سادہ کریں۔

    $$-\frac{121}{121}=-1$$

53. مختصر حقیقی اور امیجنری اجزا یکجا کریں۔

    $$4-i$$

54. یہ خارج قسمت z ہے؛ پہلی اصل مساوات میں رکھیں۔

    $$-i-4\times w+4=3\times i$$

55. معلوم z جزو دونوں طرف سے کم، پھر w کے عددی سر پر تقسیم۔

    $$-4\times w=4\times i-4$$

56. اصل کسر سے شروع کریں۔ ضربی معکوس میں صورت 1 ہوتا ہے۔

    $$\frac{4\times i-4}{-4}$$

57. مخرج کا مرافق معلوم کریں: حقیقی جزو برقرار اور امیجنری الجبری علامت الٹ دیں۔

    $$-4$$

58. مرافق کو اسی مرافق پر تقسیم کر کے ضرب دیں؛ یہ کسر 1 ہے۔

    $$\left(-\frac{4}{-4}\right)\times \left(\frac{4\times i-4}{-4}\right)$$

59. صورتیں آپس میں اور مخرج آپس میں ضرب دیں۔ قوس برقرار رکھیں۔

    $$\frac{\left(-4\right)\times \left(4\times i-4\right)}{\left(-4\right)\times \left(-4\right)}$$

60. پہلے صورت کا حساب کریں۔

61. پہلا قوس پھیلائیں: حقیقی جزو کو پورے دوسرے قوس سے، پھر امیجنری جزو کو اسی قوس سے ضرب دیں۔

    $$--16+4\times \left(-4\right)\times i$$

62. ان دونوں حاصل ضرب کو پھیلائیں۔ چاروں ضربیں واضح رکھیں۔

    $$--16-0\times i+4\times \left(-4\right)\times i+4\times 0\times ii$$

63. حقیقی ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$\left(-4\right)\times \left(-4\right)=16$$

64. حقیقی ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$-0\times i=0\times i$$

65. امیجنری ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$4\times \left(-4\right)\times i=-16\times i$$

66. امیجنری ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$4\times 0\times ii=0\times i^2$$

67. یہ چار حاصل ضرب پھیلاؤ میں رکھیں۔

    $$16+0\times i-16\times i+0\times i^2$$

68. آخری جزو میں i² کی جگہ −1 رکھیں۔

    $$0\times i^2=0\times \left(-1\right)$$

69. اس کے عددی سر کو −1 سے ضرب دیں۔

    $$0\times \left(-1\right)=0$$

70. الجبری علامت کا حساب کرنے کے بعد پھیلاؤ دوبارہ لکھیں۔

    $$16+0\times i-16\times i+0$$

71. حقیقی اجزا جمع رکھیں اور امیجنری اجزا سے i مشترک نکالیں۔

    $$16+0+i\times \left(0-16\right)$$

72. حقیقی اجزا کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$16+0=16$$

73. امیجنری عددی سروں کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$0-16=-16$$

74. حاصل شدہ دونوں مجموعے a + bi میں رکھیں۔

    $$16-16\times i$$

75. اب مخرج کا حساب الگ سے کریں۔

76. پہلا قوس پھیلائیں: حقیقی جزو کو پورے دوسرے قوس سے، پھر امیجنری جزو کو اسی قوس سے ضرب دیں۔

    $$--16+0\times \left(-4\right)\times i$$

77. ان دونوں حاصل ضرب کو پھیلائیں۔ چاروں ضربیں واضح رکھیں۔

    $$--16-0\times i+0\times \left(-4\right)\times i+0\times 0\times ii$$

78. حقیقی ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$\left(-4\right)\times \left(-4\right)=16$$

79. حقیقی ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$-0\times i=0\times i$$

80. امیجنری ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$0\times \left(-4\right)\times i=0\times i$$

81. امیجنری ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$0\times 0\times ii=0\times i^2$$

82. یہ چار حاصل ضرب پھیلاؤ میں رکھیں۔

    $$16+0\times i+0\times i+0\times i^2$$

83. آخری جزو میں i² کی جگہ −1 رکھیں۔

    $$0\times i^2=0\times \left(-1\right)$$

84. اس کے عددی سر کو −1 سے ضرب دیں۔

    $$0\times \left(-1\right)=0$$

85. الجبری علامت کا حساب کرنے کے بعد پھیلاؤ دوبارہ لکھیں۔

    $$16+0\times i+0\times i+0$$

86. حقیقی اجزا جمع رکھیں اور امیجنری اجزا سے i مشترک نکالیں۔

    $$16+0+i\times \left(0+0\right)$$

87. حقیقی اجزا کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$16+0=16$$

88. امیجنری عددی سروں کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$0+0=0$$

89. حاصل شدہ دونوں مجموعے a + bi میں رکھیں۔

    $$0\times i+16$$

90. مخرج کا امیجنری عددی سر صفر ہے، اس لیے مخرج حقیقی ہے۔

    $$16=16$$

91. حاصل صورت کو حاصل مخرج پر رکھیں۔

    $$\frac{16-16\times i}{16}$$

92. حقیقی اور امیجنری جزو کو اسی مخرج والی دو کسروں میں الگ کریں۔

    $$\frac{16}{16}+\frac{-16\times i}{16}$$

93. i کو عددی کسر سے باہر رکھیں۔

    $$\frac{16}{16}+\left(-\frac{16}{16}\right)\times i$$

94. حقیقی عددی سر کے صورت اور مخرج دونوں کو 16 پر تقسیم کریں۔

    $$\frac{16}{16}=\frac{\frac{16}{16}}{\frac{16}{16}}$$

95. حقیقی عددی سر کی کسر سادہ کریں۔

    $$\frac{16}{16}=1$$

96. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{\left(-16\right)\times 1}{1\times 16}$$

97. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$-\frac{16}{16}$$

98. صورت اور مخرج کا یہ عادِ اعظم ہے۔ دونوں کو اس پر تقسیم کریں۔

    $$\mathrm{GCD}=16$$

99. دونوں تقسیمیں واضح لکھیں۔

    $$\frac{-\frac{16}{16}}{\frac{16}{16}}$$

100. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$\left(-16\right)\times \frac{1}{16}=-1$$

101. امیجنری عددی سر کے صورت اور مخرج دونوں کو 16 پر تقسیم کریں۔

     $$-\frac{16}{16}=\frac{-\frac{16}{16}}{\frac{16}{16}}$$

102. امیجنری عددی سر کی کسر سادہ کریں۔

     $$-\frac{16}{16}=-1$$

103. مختصر حقیقی اور امیجنری اجزا یکجا کریں۔

     $$1-i$$

104. z، w دونوں اصل مساواتوں میں جانچیں۔

     $$(3\times i=3\times i,11-5\times i=11-5\times i)$$

جواب

آخری جواب نیچے ہے۔