ریاضی دہم — مشق 5.4 · سوال 1 (ix)

مکمل سوال

درج ذیل مساوات کو دو درجی مساوات میں تبدیل کر کے حل کریں۔ حاصل ہونے والی قیمتوں کو اصل مساوات میں رکھ کر ان کی تصدیق کریں۔

مرحلہ وار حل

1. مقلوب کے لیے x ≠ 0۔ t کو درج ذیل مقلوب مجموعہ یا فرق لیں۔

   $$t=x-\frac{1}{x}$$

2. تعریف کا مربع لیں: مجموعے میں درمیانی جزو +2، فرق میں −2 ہے۔

   $$t^2=x^2-2+\frac{1}{x^2}$$

3. ترتیب بدل کر x²+1/x² کو t² منفی درمیانی جزو سے بدلیں۔

   $$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2+2$$

4. تبدیلی کے بعد دو درجی مساوات ہے:

   $$2\times t^2-25\times t-13=0$$

5. تفاعل کے عبارتیں قوس سمیت رکھیں۔

   $$-(-2\times t^2+25\times t+13)-0$$

6. قوس ہٹائیں۔ قوس سے پہلے منفی علامت ہو تو اندر ہر حد کی الجبری علامت بدل دیں۔

   $$2\times t^2-25\times t-13$$

7. ہم جنس حدود جمع کرنے سے پہلے ہر پھیلائی ہوئی ضرب لکھیں۔

   $$-13-25\times t+2\times t^2-0$$

8. اس الگ ضرب کی الجبری علامت اور قوتیں سمیت حساب کریں۔

   $$-13=-13$$

9. اس الگ ضرب کی الجبری علامت اور قوتیں سمیت حساب کریں۔

   $$-25\times t=-25\times t$$

10. اس الگ ضرب کی الجبری علامت اور قوتیں سمیت حساب کریں۔

    $$2\times t^2=2\times t^2$$

11. اس الگ ضرب کی الجبری علامت اور قوتیں سمیت حساب کریں۔

    $$\left(-1\right)\times 0=0$$

12. ان اجزا کا متغیری حصہ یکساں۔ صرف ان کے عددی سر جمع کریں۔

    $$-13+0=-13$$

13. ان اجزا کا متغیری حصہ یکساں۔ صرف ان کے عددی سر جمع کریں۔

    $$-25=-25$$

14. ان اجزا کا متغیری حصہ یکساں۔ صرف ان کے عددی سر جمع کریں۔

    $$2=2$$

15. سادہ گروہوں کو اکٹھا لکھیں۔

    $$2\times t^2-25\times t-13$$

16. یکساں قوت کے اجزا جمع کر کے عددی سر سادہ کریں۔

    $$2\times t^2-25\times t-13$$

17. قوس پھیلائیں اور دائیں کے اجزا دونوں طرف سے کم کریں۔ متغیر کی قوتیں جمع کریں۔

    $$2\times t^2-25\times t-13=0$$

18. درمیانی عددی سر کو ایسے دو اعداد میں تقسیم کریں جن کا مجموعہ b اور حاصل ضرب a·c ہو۔

    $$(1-26=-25,1\times \left(-26\right)=-26)$$

19. درمیانی جزو ان دو حصوں سے لکھیں۔

    $$2\times t^2+t-26\times t-13=0$$

20. پہلے دو اور آخری دو اجزا گروپ کریں۔ ہر گروپ سے مشترک عامل نکالیں۔

    $$t\times \left(2\times t+1\right)-13\times \left(2\times t+1\right)=0$$

21. اب مشترک قوس عامل کے طور پر باہر نکالیں۔

    $$\left(t-13\right)\times \left(2\times t+1\right)=0$$

22. حاصل ضرب صفر ہو تو کم از کم ایک عامل صفر ہے۔ ہر خطی عامل صفر کے برابر رکھیں۔

    $$(t-13=0,2\times t+1=0)$$

23. اس عامل کو صفر کے برابر لیں۔

    $$t-13=0$$

24. مستقل جزو دونوں طرف سے منفی کریں۔

    $$t-13+13=0+13$$

25. دونوں طرف سادہ کریں۔

    $$t=13$$

26. دونوں طرف متغیر کے عددی سر پر تقسیم کریں۔

    $$t=13\times \frac{1}{1}$$

27. کسر مختصر کر کے یہ جڑ حاصل کریں۔

    $$t=13$$

28. اس عامل کو صفر کے برابر لیں۔

    $$2\times t+1=0$$

29. مستقل جزو دونوں طرف سے منفی کریں۔

    $$2\times t+1-1=0-1$$

30. دونوں طرف سادہ کریں۔

    $$2\times t=-1$$

31. دونوں طرف متغیر کے عددی سر پر تقسیم کریں۔

    $$t=-\frac{1}{2}$$

32. کسر مختصر کر کے یہ جڑ حاصل کریں۔

    $$t=-\frac{1}{2}$$

33. سادہ کرنے سے پہلے اس جڑ کو اصل مساوات میں رکھیں۔

    $$0=0$$

34. دونوں طرف حساب کریں؛ برابر قیمتیں جڑ کی تصدیق کرتی ہیں۔

    $$0=0$$

35. سادہ کرنے سے پہلے اس جڑ کو اصل مساوات میں رکھیں۔

    $$0=0$$

36. دونوں طرف حساب کریں؛ برابر قیمتیں جڑ کی تصدیق کرتی ہیں۔

    $$0=0$$

37. مقلوب کی تعریف واپس رکھیں، دونوں طرف غیر صفر x سے ضرب دیں۔

    $$x^2-1=-\frac{x}{2}$$

38. مخرج صفر نہیں ہو سکتا۔ اصل خارج قیمتیں پورے حساب میں یاد رکھیں۔

    $$2\ne 0$$

39. کسر ختم کرنے کے لیے دونوں طرف مشترک مخرج سے ضرب دیں۔

    $$2\times \left(x^2+\frac{x}{2}-1\right)=2\times 0$$

40. قوس پھیلائیں اور دائیں کے اجزا دونوں طرف سے کم کریں۔ متغیر کی قوتیں جمع کریں۔

    $$2\times x^2+x-2=0$$

41. یہاں صحیح عددی عوامل نہیں ملتے، اس لیے دو درجی کلیہ لیں۔

42. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$8\times \left(-2\right)=-16$$

43. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(-1\right)\times \left(-16\right)=16$$

44. ممیز ایک عمل فی قدم: b کا مربع، 4، a، c کی ضرب، پھر تفریق۔

    $$1^2-8\times \left(-2\right)$$

45. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$1^2=1$$

46. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(-4\right)\times 2\times \left(-2\right)=16$$

47. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$1+16=17$$

48. ax² + bx + c = 0 سے a، b، c ان کے الجبری علامات سمیت پڑھیں۔

    $$(a=2,b=1,c=-2)$$

49. D = b² − 4ac معلوم کریں۔ منفی ضرب منفی مثبت ہے۔

    $$D=1^2-8\times \left(-2\right)$$

50. ممیز سادہ کریں۔

    $$D=17$$

51. x = (−b ± √D)/(2a) لیں۔ جمع اور تفریق کی صورت الگ دکھائیں۔

    $$(x=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},x=\frac{\left(-1\right)\times \sqrt{17}-1}{4})$$

52. ہر صورت سادہ اور 2a پر تقسیم کریں۔

    $$\{-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times \sqrt{17},\left(-\frac{1}{4}\right)\times \sqrt{17}-\frac{1}{4}\}$$

53. اس جڑ کی شاخ الگ، الجبری علامت برقرار رکھ کر حساب کریں۔

    $$x=\frac{-1+1\times \sqrt{17}}{2\times 2}$$

54. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$1\times \sqrt{17}=\sqrt{17}$$

55. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$2\times 2=4$$

56. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{1\times 1}{1\times 4}$$

57. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$\frac{1}{4}$$

58. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$1\times \frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$

59. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$-1+\sqrt{17}\times \frac{1}{4}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times \sqrt{17}$$

60. اس جڑ کی شاخ الگ، الجبری علامت برقرار رکھ کر حساب کریں۔

    $$x=\frac{\left(-1\right)\times \sqrt{17}-1}{2\times 2}$$

61. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$2\times 2=4$$

62. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(-1\right)\times 1=-1$$

63. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$-\sqrt{17}-1=\left(-1\right)\times \sqrt{17}-1$$

64. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(\left(-1\right)\times \sqrt{17}-1\right)\times \frac{1}{4}=\left(-\frac{1}{4}\right)\times \sqrt{17}-\frac{1}{4}$$

65. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{\left(-9\right)\times 1}{1\times 8}$$

66. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$-\frac{9}{8}$$

67. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(-9\right)\times \frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

68. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{1\times 1}{1\times 8}$$

69. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$\frac{1}{8}$$

70. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$1\times \frac{1}{8}=\frac{1}{8}$$

71. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{\left(-1\right)\times 1}{1\times 4}$$

72. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$-\frac{1}{4}$$

73. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(-1\right)\times \frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

74. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $${\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times \sqrt{17}\right)}^2=\frac{9}{8}-\frac{1}{8}\times \sqrt{17}$$

75. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$-\frac{9}{8}+\frac{1}{8}\times \sqrt{17}+\frac{9}{8}-\frac{1}{8}\times \sqrt{17}=0$$

76. سادہ کرنے سے پہلے اس جڑ کو اصل مساوات میں رکھیں۔

    $$-\frac{9}{8}+\frac{1}{8}\times \sqrt{17}+{\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times \sqrt{17}\right)}^2=0$$

77. دونوں طرف حساب کریں؛ برابر قیمتیں جڑ کی تصدیق کرتی ہیں۔

    $$0=0$$

78. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(-1\right)\times \frac{1}{8}\times \sqrt{17}=\left(-\frac{1}{8}\right)\times \sqrt{17}$$

79. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$-\frac{1}{4}\times \sqrt{17}-\frac{1}{4}=\left(-\frac{1}{4}\right)\times \sqrt{17}-\frac{1}{4}$$

80. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $${\left(\left(-\frac{1}{4}\right)\times \sqrt{17}-\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{8}\times \sqrt{17}+\frac{9}{8}$$

81. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$-\frac{9}{8}-\frac{1}{8}\times \sqrt{17}+\frac{1}{8}\times \sqrt{17}+\frac{9}{8}=0$$

82. سادہ کرنے سے پہلے اس جڑ کو اصل مساوات میں رکھیں۔

    $$-\frac{9}{8}-\frac{1}{8}\times \sqrt{17}+{\left(\left(-\frac{1}{4}\right)\times \sqrt{17}-\frac{1}{4}\right)}^2=0$$

83. دونوں طرف حساب کریں؛ برابر قیمتیں جڑ کی تصدیق کرتی ہیں۔

    $$0=0$$

84. مقلوب کی تعریف واپس رکھیں، دونوں طرف غیر صفر x سے ضرب دیں۔

    $$x^2-1=13\times x$$

85. تفاعل کے عبارتیں قوس سمیت رکھیں۔

    $$-(-x^2+13\times x+1)-0$$

86. قوس ہٹائیں۔ قوس سے پہلے منفی علامت ہو تو اندر ہر حد کی الجبری علامت بدل دیں۔

    $$x^2-13\times x-1$$

87. ہم جنس حدود جمع کرنے سے پہلے ہر پھیلائی ہوئی ضرب لکھیں۔

    $$-1+x^2-13\times x-0$$

88. اس الگ ضرب کی الجبری علامت اور قوتیں سمیت حساب کریں۔

    $$-1=-1$$

89. اس الگ ضرب کی الجبری علامت اور قوتیں سمیت حساب کریں۔

    $$x^2=x^2$$

90. اس الگ ضرب کی الجبری علامت اور قوتیں سمیت حساب کریں۔

    $$-13\times x=-13\times x$$

91. اس الگ ضرب کی الجبری علامت اور قوتیں سمیت حساب کریں۔

    $$\left(-1\right)\times 0=0$$

92. ان اجزا کا متغیری حصہ یکساں۔ صرف ان کے عددی سر جمع کریں۔

    $$-1+0=-1$$

93. ان اجزا کا متغیری حصہ یکساں۔ صرف ان کے عددی سر جمع کریں۔

    $$1=1$$

94. ان اجزا کا متغیری حصہ یکساں۔ صرف ان کے عددی سر جمع کریں۔

    $$-13=-13$$

95. سادہ گروہوں کو اکٹھا لکھیں۔

    $$x^2-13\times x-1$$

96. یکساں قوت کے اجزا جمع کر کے عددی سر سادہ کریں۔

    $$x^2-13\times x-1$$

97. قوس پھیلائیں اور دائیں کے اجزا دونوں طرف سے کم کریں۔ متغیر کی قوتیں جمع کریں۔

    $$x^2-13\times x-1=0$$

98. یہاں صحیح عددی عوامل نہیں ملتے، اس لیے دو درجی کلیہ لیں۔

99. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$4\times \left(-1\right)=-4$$

100. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$\left(-1\right)\times \left(-4\right)=4$$

101. ممیز ایک عمل فی قدم: b کا مربع، 4، a، c کی ضرب، پھر تفریق۔

     $${\left(-13\right)}^2-4\times \left(-1\right)$$

102. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $${\left(-13\right)}^2=169$$

103. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$\left(-4\right)\times 1\times \left(-1\right)=4$$

104. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$169+4=173$$

105. ax² + bx + c = 0 سے a، b، c ان کے الجبری علامات سمیت پڑھیں۔

     $$(a=1,b=-13,c=-1)$$

106. D = b² − 4ac معلوم کریں۔ منفی ضرب منفی مثبت ہے۔

     $$D={\left(-13\right)}^2-4\times \left(-1\right)$$

107. ممیز سادہ کریں۔

     $$D=173$$

108. x = (−b ± √D)/(2a) لیں۔ جمع اور تفریق کی صورت الگ دکھائیں۔

     $$(x=\frac{13+\sqrt{173}}{2},x=\frac{13-\sqrt{173}}{2})$$

109. ہر صورت سادہ اور 2a پر تقسیم کریں۔

     $$\{\frac{13}{2}-\frac{1}{2}\times \sqrt{173},\frac{13}{2}+\frac{1}{2}\times \sqrt{173}\}$$

110. اس جڑ کی شاخ الگ، الجبری علامت برقرار رکھ کر حساب کریں۔

     $$x=\frac{13+1\times \sqrt{173}}{2\times 1}$$

111. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$1\times \sqrt{173}=\sqrt{173}$$

112. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$2\times 1=2$$

113. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

     $$\frac{1\times 1}{1\times 2}$$

114. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

     $$\frac{1}{2}$$

115. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

116. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$13+\sqrt{173}\times \frac{1}{2}=\frac{13}{2}+\frac{1}{2}\times \sqrt{173}$$

117. اس جڑ کی شاخ الگ، الجبری علامت برقرار رکھ کر حساب کریں۔

     $$x=\frac{13-\sqrt{173}}{2\times 1}$$

118. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$2\times 1=2$$

119. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$\left(13-\sqrt{173}\right)\times \frac{1}{2}=\frac{13}{2}-\frac{1}{2}\times \sqrt{173}$$

120. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

     $$\frac{\left(-171\right)\times 1}{1\times 2}$$

121. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

     $$-\frac{171}{2}$$

122. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$\left(-171\right)\times \frac{1}{2}=-\frac{171}{2}$$

123. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

     $$\frac{13\times 1}{1\times 2}$$

124. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

     $$\frac{13}{2}$$

125. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$13\times \frac{1}{2}=\frac{13}{2}$$

126. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$\left(-1\right)\times \frac{13}{2}\times \sqrt{173}=\left(-\frac{13}{2}\right)\times \sqrt{173}$$

127. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $${\left(\frac{13}{2}+\frac{1}{2}\times \sqrt{173}\right)}^2=\frac{1}{4}\times {\left(13+\sqrt{173}\right)}^2$$

128. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$-\frac{171}{2}-\frac{13}{2}\times \sqrt{173}+\frac{1}{4}\times {\left(13+\sqrt{173}\right)}^2=0$$

129. سادہ کرنے سے پہلے اس جڑ کو اصل مساوات میں رکھیں۔

     $$-\frac{171}{2}-\frac{13}{2}\times \sqrt{173}+{\left(\frac{13}{2}+\frac{1}{2}\times \sqrt{173}\right)}^2=0$$

130. دونوں طرف حساب کریں؛ برابر قیمتیں جڑ کی تصدیق کرتی ہیں۔

     $$0=0$$

131. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$\left(-1\right)\times \frac{1}{2}\times \sqrt{173}=\left(-\frac{1}{2}\right)\times \sqrt{173}$$

132. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $${\left(\frac{13}{2}-\frac{1}{2}\times \sqrt{173}\right)}^2=\frac{1}{4}\times {\left(13-\sqrt{173}\right)}^2$$

133. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$-\frac{171}{2}+\frac{1}{4}\times {\left(13-\sqrt{173}\right)}^2+\frac{13}{2}\times \sqrt{173}=0$$

134. سادہ کرنے سے پہلے اس جڑ کو اصل مساوات میں رکھیں۔

     $$-\frac{171}{2}+{\left(\frac{13}{2}-\frac{1}{2}\times \sqrt{173}\right)}^2+\frac{13}{2}\times \sqrt{173}=0$$

135. دونوں طرف حساب کریں؛ برابر قیمتیں جڑ کی تصدیق کرتی ہیں۔

     $$0=0$$

136. تبدیلی کی ہر شاخ سے تمام درست جڑیں جمع کریں۔

     $$\{-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times \sqrt{17},\frac{13}{2}-\frac{1}{2}\times \sqrt{173},\frac{13}{2}+\frac{1}{2}\times \sqrt{173},\left(-\frac{1}{4}\right)\times \sqrt{17}-\frac{1}{4}\}$$

جواب

آخری جواب نیچے ہے۔