ریاضی دہم — مشق 3.6 · سوال 8

مکمل سوال

44 km دور سائیکل سوار مخالف سمت میں 2 گھنٹوں میں ملتے ہیں۔ ایک ہی سمت تیز سوار 7½ گھنٹوں میں ملتا ہے۔ رفتاریں معلوم کریں۔

مرحلہ وار حل

1. رفتاریں x تیز اور y آہستہ km/h۔ مخالف سمت: 2(x+y)=44، لہٰذا x+y=22۔

2. ایک سمت: (15/2)(x−y)=44۔ 15/2 پر تقسیم سے x−y=88/15۔

3. عددی سر A، نامعلوم X، مستقل اجزا B میں لکھیں؛ AX = B۔

   $$(\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}22\\ \frac{88}{15}\end{array}\right])$$

4. 2 × 2 مقطع میں اصل قطر کا حاصل ضرب لیں، پھر دوسرے قطر کا حاصل ضرب منفی کریں۔

   $$D=1\times \left(-1\right)-1\times 1$$

5. پہلے قطر کا حاصل ضرب معلوم کریں۔

   $$1\times \left(-1\right)=-1$$

6. دوسرے قطر کا حاصل ضرب معلوم کریں۔

   $$1\times 1=1$$

7. دوسرا حاصل ضرب اس کے الجبری علامت سمیت منفی کریں۔

   $$D=-1-1$$

8. تفریق سادہ کریں۔

   $$D=-2$$

9. 2 × 2 مقطع میں اصل قطر کا حاصل ضرب لیں، پھر دوسرے قطر کا حاصل ضرب منفی کریں۔

   $$D=1\times \left(-1\right)-1\times 1$$

10. پہلے قطر کا حاصل ضرب معلوم کریں۔

    $$1\times \left(-1\right)=-1$$

11. دوسرے قطر کا حاصل ضرب معلوم کریں۔

    $$1\times 1=1$$

12. دوسرا حاصل ضرب اس کے الجبری علامت سمیت منفی کریں۔

    $$D=-1-1$$

13. تفریق سادہ کریں۔

    $$D=-2$$

14. مقطع غیر صفر ہے، لہٰذا معکوس موجود ہے۔

    $$-2\ne 0$$

15. الحاقی بنانے کے لیے دونوں قطری اجزا کی جگہ بدلیں۔

    $$\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$$

16. قطر سے باہر دونوں اجزا کے الجبری علامت بدلیں۔

    $$\left[\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]$$

17. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$$

18. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{\left(-1\right)\times \left(-1\right)}{1\times 2}$$

19. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$\frac{1}{2}$$

20. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(-1\right)\times \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$$

21. الحاقی کے جزو (1,1) کو مقطع پر تقسیم کریں۔

    $$-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$$

22. الحاقی کے جزو (1,2) کو مقطع پر تقسیم کریں۔

    $$-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$$

23. الحاقی کے جزو (2,1) کو مقطع پر تقسیم کریں۔

    $$-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$$

24. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{1\times \left(-1\right)}{1\times 2}$$

25. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$-\frac{1}{2}$$

26. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$1\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}$$

27. الحاقی کے جزو (2,2) کو مقطع پر تقسیم کریں۔

    $$\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$$

28. حاصل اجزا ان کی درست قطار اور کالم میں رکھیں۔

    $$\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$$

29. AX = B کو بائیں سے A⁻¹ ضرب دیں۔ A⁻¹A = I سے X = A⁻¹B۔

30. پہلے قالب کے 2 کالم دوسرے کی 2 قطاروں کے برابر ہیں۔ حاصل ضرب کی 2 قطاریں اور 1 کالم ہیں۔

    $$(\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}22\\ \frac{88}{15}\end{array}\right])$$

31. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{1\times 1}{1\times 2}$$

32. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

33. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{1\times 22}{2\times 1}$$

34. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$\frac{22}{2}$$

35. صورت اور مخرج کا یہ عادِ اعظم ہے۔ دونوں کو اس پر تقسیم کریں۔

    $$\mathrm{GCD}=2$$

36. دونوں تقسیمیں واضح لکھیں۔

    $$\frac{\frac{22}{2}}{\frac{2}{2}}$$

37. صورت کی تقسیم معلوم کریں۔

    $$\frac{22}{2}=11$$

38. مخرج کی تقسیم معلوم کریں۔

    $$\frac{2}{2}=1$$

39. مختصر کسر لکھیں۔

    $$11\times \frac{1}{1}$$

40. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{88\times 1}{1\times 15}$$

41. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$\frac{88}{15}$$

42. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$88\times \frac{1}{15}=\frac{88}{15}$$

43. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{1\times 88}{2\times 15}$$

44. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$\frac{88}{30}$$

45. دونوں تقسیمیں واضح لکھیں۔

    $$\frac{\frac{88}{2}}{\frac{30}{2}}$$

46. صورت کی تقسیم معلوم کریں۔

    $$\frac{88}{2}=44$$

47. مخرج کی تقسیم معلوم کریں۔

    $$\frac{30}{2}=15$$

48. مختصر کسر لکھیں۔

    $$\frac{44}{15}$$

49. یہ کسریں جمع کرنے کے لیے پہلے مخرجوں کا ذواضعافِ اقل مشترک مخرج لیں۔

    $$\mathrm{LCD}=15$$

50. اس صورت اور مخرج دونوں کو یکساں عامل سے ضرب دیں۔ قیمت برقرار رہتی ہے۔

    $$11\times \frac{1}{1}=\frac{11\times 15}{1\times 15}$$

51. نئی صورت معلوم کریں؛ اب مخرج مشترک ہے۔

    $$\frac{165}{15}$$

52. اس صورت اور مخرج دونوں کو یکساں عامل سے ضرب دیں۔ قیمت برقرار رہتی ہے۔

    $$\frac{44}{15}=\frac{44\times 1}{15\times 1}$$

53. مشترک مخرج برقرار، الجبری علامات سمیت صورتیں جمع کریں۔

    $$\frac{165+44}{15}=\frac{209}{15}$$

54. جزو (1,1): قطار 1 کو کالم 1 سے ملا کر حاصل ضرب جمع کریں۔

    $$\frac{1}{2}\times 22+\frac{1}{2}\times \frac{88}{15}$$

55. یہ انفرادی حاصل ضرب الجبری علامات سمیت معلوم کریں۔

    $$\frac{1}{2}\times 22=11$$

56. یہ انفرادی حاصل ضرب الجبری علامات سمیت معلوم کریں۔

    $$\frac{1}{2}\times \frac{88}{15}=\frac{44}{15}$$

57. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{44\times 1}{1\times 15}$$

58. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$44\times \frac{1}{15}=\frac{44}{15}$$

59. حاصل ضرب جمع کر کے یہ جزو معلوم کریں۔

    $$11+\frac{44}{15}=\frac{209}{15}$$

60. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{\left(-1\right)\times 44}{1\times 15}$$

61. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$-\frac{44}{15}$$

62. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(-1\right)\times \frac{44}{15}=-\frac{44}{15}$$

63. اس صورت اور مخرج دونوں کو یکساں عامل سے ضرب دیں۔ قیمت برقرار رہتی ہے۔

    $$-\frac{44}{15}=\frac{\left(-44\right)\times 1}{15\times 1}$$

64. مشترک مخرج برقرار، الجبری علامات سمیت صورتیں جمع کریں۔

    $$\frac{165-44}{15}=\frac{121}{15}$$

65. جزو (2,1): قطار 2 کو کالم 1 سے ملا کر حاصل ضرب جمع کریں۔

    $$\frac{1}{2}\times 22-\frac{44}{15}$$

66. یہ انفرادی حاصل ضرب الجبری علامات سمیت معلوم کریں۔

    $$\frac{1}{2}\times 22=11$$

67. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{\left(-1\right)\times 1}{1\times 2}$$

68. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(-1\right)\times \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$$

69. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{\left(-1\right)\times 88}{2\times 15}$$

70. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$-\frac{88}{30}$$

71. دونوں تقسیمیں واضح لکھیں۔

    $$\frac{-\frac{88}{2}}{\frac{30}{2}}$$

72. صورت کی تقسیم معلوم کریں۔

    $$-\frac{88}{2}=-44$$

73. یہ انفرادی حاصل ضرب الجبری علامات سمیت معلوم کریں۔

    $$\left(-\frac{1}{2}\right)\times \frac{88}{15}=-\frac{44}{15}$$

74. حاصل ضرب جمع کر کے یہ جزو معلوم کریں۔

    $$11-\frac{44}{15}=\frac{121}{15}$$

75. حاصل اجزا ان کی درست قطار اور کالم میں رکھیں۔

    $$\left[\begin{array}{c}\frac{209}{15}\\ \frac{121}{15}\end{array}\right]$$

76. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{209\times 1}{1\times 15}$$

77. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$\frac{209}{15}$$

78. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$209\times \frac{1}{15}=\frac{209}{15}$$

79. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{1\times 209}{1\times 15}$$

80. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$1\times \frac{209}{15}=\frac{209}{15}$$

81. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{121\times 1}{1\times 15}$$

82. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$\frac{121}{15}$$

83. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$121\times \frac{1}{15}=\frac{121}{15}$$

84. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{1\times 121}{1\times 15}$$

85. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$1\times \frac{121}{15}=\frac{121}{15}$$

86. اس صورت اور مخرج دونوں کو یکساں عامل سے ضرب دیں۔ قیمت برقرار رہتی ہے۔

    $$\frac{209}{15}=\frac{209\times 1}{15\times 1}$$

87. اس صورت اور مخرج دونوں کو یکساں عامل سے ضرب دیں۔ قیمت برقرار رہتی ہے۔

    $$\frac{121}{15}=\frac{121\times 1}{15\times 1}$$

88. مشترک مخرج برقرار، الجبری علامات سمیت صورتیں جمع کریں۔

    $$\frac{209+121}{15}=\frac{330}{15}$$

89. صورت اور مخرج کا یہ عادِ اعظم ہے۔ دونوں کو اس پر تقسیم کریں۔

    $$\mathrm{GCD}=15$$

90. دونوں تقسیمیں واضح لکھیں۔

    $$\frac{\frac{330}{15}}{\frac{15}{15}}$$

91. صورت کی تقسیم معلوم کریں۔

    $$\frac{330}{15}=22$$

92. مخرج کی تقسیم معلوم کریں۔

    $$\frac{15}{15}=1$$

93. مختصر کسر لکھیں۔

    $$22\times \frac{1}{1}$$

94. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\frac{209}{15}+\frac{121}{15}=22$$

95. اصل مساوات میں عددی سر کو حاصل قیمتوں سے ضرب دے کر جانچیں۔

    $$1\times \frac{209}{15}+1\times \frac{121}{15}=22$$

96. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{\left(-1\right)\times 121}{1\times 15}$$

97. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$-\frac{121}{15}$$

98. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(-1\right)\times \frac{121}{15}=-\frac{121}{15}$$

99. اس صورت اور مخرج دونوں کو یکساں عامل سے ضرب دیں۔ قیمت برقرار رہتی ہے۔

    $$-\frac{121}{15}=\frac{\left(-121\right)\times 1}{15\times 1}$$

100. مشترک مخرج برقرار، الجبری علامات سمیت صورتیں جمع کریں۔

     $$\frac{209-121}{15}=\frac{88}{15}$$

101. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$\frac{209}{15}-\frac{121}{15}=\frac{88}{15}$$

102. اصل مساوات میں عددی سر کو حاصل قیمتوں سے ضرب دے کر جانچیں۔

     $$1\times \frac{209}{15}-\frac{121}{15}=\frac{88}{15}$$

جواب

آخری جواب نیچے ہے۔