ریاضی دہم — مشق 2.7 · سوال 1

مکمل سوال

شہر کی آبادی P(t) = −2t² + 40t + 800؛ t، 2020 کے بعد سال ہیں۔ کن سالوں میں آبادی کم از کم 1000؟

- 2 \times t^{2} + 40 \times t - 200 \geq 0

مرحلہ وار حل

P(t) ≥ 1000 لیں اور 1000 منفی کریں۔
تفاعل کے عبارتیں قوس سمیت رکھیں۔
$- (2 \times t^{2} - 40 \times t + 200) - 0$
قوس ہٹائیں۔ قوس سے پہلے منفی علامت ہو تو اندر ہر حد کی الجبری علامت بدل دیں۔
$- 2 \times t^{2} + 40 \times t - 200$
ہم جنس حدود جمع کرنے سے پہلے ہر پھیلائی ہوئی ضرب لکھیں۔
$- 200 - 2 \times t^{2} + 40 \times t - 0$
اس الگ ضرب کی الجبری علامت اور قوتیں سمیت حساب کریں۔
$-200 = -200$
اس الگ ضرب کی الجبری علامت اور قوتیں سمیت حساب کریں۔
$- 2 \times t^{2} = - 2 \times t^{2}$
اس الگ ضرب کی الجبری علامت اور قوتیں سمیت حساب کریں۔
$40 \times t = 40 \times t$
اس الگ ضرب کی الجبری علامت اور قوتیں سمیت حساب کریں۔
$(-1) \times 0 = 0$
ان اجزا کا متغیری حصہ یکساں۔ صرف ان کے عددی سر جمع کریں۔
$- 200 + 0 = -200$
ان اجزا کا متغیری حصہ یکساں۔ صرف ان کے عددی سر جمع کریں۔
$-2 = -2$
ان اجزا کا متغیری حصہ یکساں۔ صرف ان کے عددی سر جمع کریں۔
$40 = 40$
سادہ گروہوں کو اکٹھا لکھیں۔
$- 2 \times t^{2} + 40 \times t - 200$
یکساں قوت کے اجزا جمع کر کے عددی سر سادہ کریں۔
$- 2 \times t^{2} + 40 \times t - 200$
قوس پھیلائیں اور دائیں کے اجزا دونوں طرف سے کم کریں۔ متغیر کی قوتیں جمع کریں۔
$2 \times t^{2} - 40 \times t + 200 = 0$
درمیانی عددی سر کو ایسے دو اعداد میں تقسیم کریں جن کا مجموعہ b اور حاصل ضرب a·c ہو۔
$(- 20 - 20 = -40, (-20) \times (-20) = 400)$
درمیانی جزو ان دو حصوں سے لکھیں۔
$2 \times t^{2} - 20 \times t - 20 \times t + 200 = 0$
پہلے دو اور آخری دو اجزا گروپ کریں۔ ہر گروپ سے مشترک عامل نکالیں۔
$(2 \times t) \times (t - 10) - 20 \times (t - 10) = 0$
اب مشترک قوس عامل کے طور پر باہر نکالیں۔
$2 \times (t - 10) (t - 10) = 0$
حاصل ضرب صفر ہو تو کم از کم ایک عامل صفر ہے۔ ہر خطی عامل صفر کے برابر رکھیں۔
$(t - 10 = 0, t - 10 = 0)$
اس عامل کو صفر کے برابر لیں۔
$t - 10 = 0$
مستقل جزو دونوں طرف سے منفی کریں۔
$t - 10 + 10 = 0 + 10$
دونوں طرف سادہ کریں۔
$t = 10$
دونوں طرف متغیر کے عددی سر پر تقسیم کریں۔
$t = 10 \times \frac{1}{1}$
کسر مختصر کر کے یہ جڑ حاصل کریں۔
$t = 10$
اس عامل کو صفر کے برابر لیں۔
$t - 10 = 0$
مستقل جزو دونوں طرف سے منفی کریں۔
$t - 10 + 10 = 0 + 10$
دونوں طرف سادہ کریں۔
$t = 10$
دونوں طرف متغیر کے عددی سر پر تقسیم کریں۔
$t = 10 \times \frac{1}{1}$
کسر مختصر کر کے یہ جڑ حاصل کریں۔
$t = 10$
سادہ کرنے سے پہلے اس جڑ کو اصل مساوات میں رکھیں۔
$0 = 0$
دونوں طرف حساب کریں؛ برابر قیمتیں جڑ کی تصدیق کرتی ہیں۔
$0 = 0$
پہلے متعلقہ مساوات حل کر کے نازک قیمتیں معلوم کریں۔
$- 2 \times {(t - 10)}^{2} = 0$
نازک قیمتیں عددی خط کو وقفوں میں بانٹتی ہیں۔ ہر وقفے کی ایک قیمت جانچیں۔
${10}$
باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔
$2 \times 81 = 162$
باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔
$(-1) \times 162 = -162$
آزمائشی قیمت رکھ کر عبارت نکالیں؛ اس وقفے میں الجبری علامت مستقل ہے۔
$- 200 - 2 \times 9^{2} + 40 \times 9$
باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔
$9^{2} = 81$
باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔
$(-2) \times 81 = -162$
باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔
$40 \times 9 = 360$
باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔
$- 200 - 162 + 360 = -2$
حاصل قیمت کو مطلوبہ عدم مساوات سے صفر کے مقابل جانچیں۔
$test value = -2$
باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔
$2 \times 121 = 242$
باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔
$(-1) \times 242 = -242$
آزمائشی قیمت رکھ کر عبارت نکالیں؛ اس وقفے میں الجبری علامت مستقل ہے۔
$- 200 - 2 \times 11^{2} + 40 \times 11$
باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔
$11^{2} = 121$
باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔
$(-2) \times 121 = -242$
باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔
$40 \times 11 = 440$
باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔
$- 200 - 242 + 440 = -2$
حاصل قیمت کو مطلوبہ عدم مساوات سے صفر کے مقابل جانچیں۔
$test value = -2$
مطلوبہ الجبری علامت والے وقفے لیں۔ ≤ یا ≥ میں جڑیں شامل؛ صرف <، > میں جڑیں خارج۔
${10}$
صرف t = 10 درست؛ 2020 میں 10 سال جمع کریں۔

وقفہ	آزمائشی قیمت	عبارت کی قیمت	درست؟
Interval.open(-oo, 10)	9	-2	نہیں
Interval.open(10, oo)	11	-2	نہیں

جواب

صرف سال 2030۔

{10}