ریاضی دہم — مشق 1.4 · سوال 2 (ii)

مکمل سوال

مرکب اعداد z، w کی بیک وقت مساواتیں حل کریں۔

مرحلہ وار حل

1. دو نامعلوم مرکب اعداد z، w کی دو مساواتیں ہیں۔

   $$(w\times \left(-i-3\right)+2\times z=9-i,-i\times w+i\times z=i-1)$$

2. پہلی مساوات کو دوسری میں w کے عددی سر، دوسری کو پہلی میں w کے عددی سر سے ضرب دیں۔

   $$(-i\times \left(w\times \left(-i-3\right)+2\times z\right)=-i\times \left(9-i\right),\left(-i-3\right)\times \left(-i\times w+i\times z\right)=\left(-i-3\right)\times \left(i-1\right))$$

3. تفریق کریں؛ w کے اجزا ختم۔ باقی عددی سر i² = −1 سے پھیلائیں۔

   $$z\times \left(i-1\right)=-7\times i-5$$

4. اصل کسر سے شروع کریں۔ ضربی معکوس میں صورت 1 ہوتا ہے۔

   $$\frac{-7\times i-5}{i-1}$$

5. مخرج کا مرافق معلوم کریں: حقیقی جزو برقرار اور امیجنری الجبری علامت الٹ دیں۔

   $$-i-1$$

6. مرافق کو اسی مرافق پر تقسیم کر کے ضرب دیں؛ یہ کسر 1 ہے۔

   $$\left(\frac{-7\times i-5}{i-1}\right)\times \left(\frac{-i-1}{-i-1}\right)$$

7. صورتیں آپس میں اور مخرج آپس میں ضرب دیں۔ قوس برقرار رکھیں۔

   $$\frac{\left(-7\times i-5\right)\times \left(-i-1\right)}{\left(-i-1\right)\times \left(i-1\right)}$$

8. پہلے صورت کا حساب کریں۔

9. پہلا قوس پھیلائیں: حقیقی جزو کو پورے دوسرے قوس سے، پھر امیجنری جزو کو اسی قوس سے ضرب دیں۔

   $$-7\times i\times \left(-i-1\right)-5\times \left(-i-1\right)$$

10. ان دونوں حاصل ضرب کو پھیلائیں۔ چاروں ضربیں واضح رکھیں۔

    $$--5-(-5\times i)-7\times \left(-1\right)\times i-7\times \left(-1\right)\times ii$$

11. حقیقی ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$\left(-5\right)\times \left(-1\right)=5$$

12. حقیقی ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$--5\times i=5\times i$$

13. امیجنری ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$-7\times \left(-1\right)\times i=7\times i$$

14. امیجنری ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$-7\times \left(-1\right)\times ii=7\times i^2$$

15. یہ چار حاصل ضرب پھیلاؤ میں رکھیں۔

    $$5+5\times i+7\times i+7\times i^2$$

16. آخری جزو میں i² کی جگہ −1 رکھیں۔

    $$7\times i^2=7\times \left(-1\right)$$

17. اس کے عددی سر کو −1 سے ضرب دیں۔

    $$7\times \left(-1\right)=-7$$

18. الجبری علامت کا حساب کرنے کے بعد پھیلاؤ دوبارہ لکھیں۔

    $$5+5\times i+7\times i-7$$

19. حقیقی اجزا جمع رکھیں اور امیجنری اجزا سے i مشترک نکالیں۔

    $$5-7+i\times \left(5+7\right)$$

20. حقیقی اجزا کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$5-7=-2$$

21. امیجنری عددی سروں کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$5+7=12$$

22. حاصل شدہ دونوں مجموعے a + bi میں رکھیں۔

    $$12\times i-2$$

23. اب مخرج کا حساب الگ سے کریں۔

24. پہلا قوس پھیلائیں: حقیقی جزو کو پورے دوسرے قوس سے، پھر امیجنری جزو کو اسی قوس سے ضرب دیں۔

    $$-(-i-1)+i\times \left(-i-1\right)$$

25. ان دونوں حاصل ضرب کو پھیلائیں۔ چاروں ضربیں واضح رکھیں۔

    $$--1-(-i)+\left(-1\right)\times i+\left(-1\right)\times ii$$

26. حقیقی ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$\left(-1\right)\times \left(-1\right)=1$$

27. حقیقی ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$--1\times i=i$$

28. امیجنری ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$\left(-1\right)\times i=-i$$

29. امیجنری ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$\left(-1\right)\times ii=-i^2$$

30. یہ چار حاصل ضرب پھیلاؤ میں رکھیں۔

    $$1+i-i-i^2$$

31. آخری جزو میں i² کی جگہ −1 رکھیں۔

    $$-i^2=\left(-1\right)\times \left(-1\right)$$

32. اس کے عددی سر کو −1 سے ضرب دیں۔

    $$\left(-1\right)\times \left(-1\right)=1$$

33. الجبری علامت کا حساب کرنے کے بعد پھیلاؤ دوبارہ لکھیں۔

    $$1+i-i+1$$

34. حقیقی اجزا جمع رکھیں اور امیجنری اجزا سے i مشترک نکالیں۔

    $$1+1+i\times \left(1-1\right)$$

35. حقیقی اجزا کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$1+1=2$$

36. امیجنری عددی سروں کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$1-1=0$$

37. حاصل شدہ دونوں مجموعے a + bi میں رکھیں۔

    $$0\times i+2$$

38. مخرج کا امیجنری عددی سر صفر ہے، اس لیے مخرج حقیقی ہے۔

    $$2=2$$

39. حاصل صورت کو حاصل مخرج پر رکھیں۔

    $$\frac{12\times i-2}{2}$$

40. حقیقی اور امیجنری جزو کو اسی مخرج والی دو کسروں میں الگ کریں۔

    $$-\frac{2}{2}+\frac{12\times i}{2}$$

41. i کو عددی کسر سے باہر رکھیں۔

    $$-\frac{2}{2}+\left(\frac{12}{2}\right)\times i$$

42. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{\left(-2\right)\times 1}{1\times 2}$$

43. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$-\frac{2}{2}$$

44. صورت اور مخرج کا یہ عادِ اعظم ہے۔ دونوں کو اس پر تقسیم کریں۔

    $$\mathrm{GCD}=2$$

45. دونوں تقسیمیں واضح لکھیں۔

    $$\frac{-\frac{2}{2}}{\frac{2}{2}}$$

46. مخرج کی تقسیم معلوم کریں۔

    $$\frac{2}{2}=1$$

47. مختصر کسر لکھیں۔

    $$-\frac{1}{1}$$

48. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(-2\right)\times \frac{1}{2}=-1$$

49. حقیقی عددی سر کے صورت اور مخرج دونوں کو 2 پر تقسیم کریں۔

    $$-\frac{2}{2}=\frac{-\frac{2}{2}}{\frac{2}{2}}$$

50. حقیقی عددی سر کی کسر سادہ کریں۔

    $$-\frac{2}{2}=-1$$

51. امیجنری عددی سر کے صورت اور مخرج دونوں کو 2 پر تقسیم کریں۔

    $$\frac{12}{2}=\frac{\frac{12}{2}}{\frac{2}{2}}$$

52. امیجنری عددی سر کی کسر سادہ کریں۔

    $$\frac{12}{2}=6$$

53. مختصر حقیقی اور امیجنری اجزا یکجا کریں۔

    $$6\times i-1$$

54. یہ خارج قسمت z ہے؛ پہلی اصل مساوات میں رکھیں۔

    $$12\times i+w\times \left(-i-3\right)-2=9-i$$

55. معلوم z جزو دونوں طرف سے کم، پھر w کے عددی سر پر تقسیم۔

    $$w\times \left(-i-3\right)=11-13\times i$$

56. اصل کسر سے شروع کریں۔ ضربی معکوس میں صورت 1 ہوتا ہے۔

    $$\frac{11-13\times i}{-i-3}$$

57. مخرج کا مرافق معلوم کریں: حقیقی جزو برقرار اور امیجنری الجبری علامت الٹ دیں۔

    $$i-3$$

58. مرافق کو اسی مرافق پر تقسیم کر کے ضرب دیں؛ یہ کسر 1 ہے۔

    $$\left(\frac{11-13\times i}{-i-3}\right)\times \left(\frac{i-3}{i-3}\right)$$

59. صورتیں آپس میں اور مخرج آپس میں ضرب دیں۔ قوس برقرار رکھیں۔

    $$\frac{\left(11-13\times i\right)\times \left(i-3\right)}{\left(-i-3\right)\times \left(i-3\right)}$$

60. پہلے صورت کا حساب کریں۔

61. پہلا قوس پھیلائیں: حقیقی جزو کو پورے دوسرے قوس سے، پھر امیجنری جزو کو اسی قوس سے ضرب دیں۔

    $$-13\times i\times \left(i-3\right)+11\times \left(i-3\right)$$

62. ان دونوں حاصل ضرب کو پھیلائیں۔ چاروں ضربیں واضح رکھیں۔

    $$11\times \left(-3\right)+11\times 1\times i-13\times \left(-3\right)\times i-13\times 1\times ii$$

63. حقیقی ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$11\times \left(-3\right)=-33$$

64. حقیقی ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$11\times 1\times i=11\times i$$

65. امیجنری ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$-13\times \left(-3\right)\times i=39\times i$$

66. امیجنری ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$-13\times 1\times ii=-13\times i^2$$

67. یہ چار حاصل ضرب پھیلاؤ میں رکھیں۔

    $$-33+11\times i+39\times i-13\times i^2$$

68. آخری جزو میں i² کی جگہ −1 رکھیں۔

    $$-13\times i^2=\left(-13\right)\times \left(-1\right)$$

69. اس کے عددی سر کو −1 سے ضرب دیں۔

    $$\left(-13\right)\times \left(-1\right)=13$$

70. الجبری علامت کا حساب کرنے کے بعد پھیلاؤ دوبارہ لکھیں۔

    $$-33+11\times i+39\times i+13$$

71. حقیقی اجزا جمع رکھیں اور امیجنری اجزا سے i مشترک نکالیں۔

    $$-33+13+i\times \left(11+39\right)$$

72. حقیقی اجزا کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$-33+13=-20$$

73. امیجنری عددی سروں کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$11+39=50$$

74. حاصل شدہ دونوں مجموعے a + bi میں رکھیں۔

    $$50\times i-20$$

75. اب مخرج کا حساب الگ سے کریں۔

76. پہلا قوس پھیلائیں: حقیقی جزو کو پورے دوسرے قوس سے، پھر امیجنری جزو کو اسی قوس سے ضرب دیں۔

    $$-i\times \left(i-3\right)-3\times \left(i-3\right)$$

77. ان دونوں حاصل ضرب کو پھیلائیں۔ چاروں ضربیں واضح رکھیں۔

    $$--9-3\times i-\left(-3\right)\times i-1\times ii$$

78. حقیقی ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$\left(-3\right)\times \left(-3\right)=9$$

79. حقیقی ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$-3\times i=-3\times i$$

80. امیجنری ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$-\left(-3\right)\times i=3\times i$$

81. امیجنری ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$-1\times ii=-i^2$$

82. یہ چار حاصل ضرب پھیلاؤ میں رکھیں۔

    $$9-3\times i+3\times i-i^2$$

83. آخری جزو میں i² کی جگہ −1 رکھیں۔

    $$-i^2=\left(-1\right)\times \left(-1\right)$$

84. اس کے عددی سر کو −1 سے ضرب دیں۔

    $$\left(-1\right)\times \left(-1\right)=1$$

85. الجبری علامت کا حساب کرنے کے بعد پھیلاؤ دوبارہ لکھیں۔

    $$9-3\times i+3\times i+1$$

86. حقیقی اجزا جمع رکھیں اور امیجنری اجزا سے i مشترک نکالیں۔

    $$9+1+i\times \left(-3+3\right)$$

87. حقیقی اجزا کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$9+1=10$$

88. امیجنری عددی سروں کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$-3+3=0$$

89. حاصل شدہ دونوں مجموعے a + bi میں رکھیں۔

    $$0\times i+10$$

90. مخرج کا امیجنری عددی سر صفر ہے، اس لیے مخرج حقیقی ہے۔

    $$10=10$$

91. حاصل صورت کو حاصل مخرج پر رکھیں۔

    $$\frac{50\times i-20}{10}$$

92. حقیقی اور امیجنری جزو کو اسی مخرج والی دو کسروں میں الگ کریں۔

    $$-\frac{20}{10}+\frac{50\times i}{10}$$

93. i کو عددی کسر سے باہر رکھیں۔

    $$-\frac{20}{10}+\left(\frac{50}{10}\right)\times i$$

94. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{\left(-20\right)\times 1}{1\times 10}$$

95. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$-\frac{20}{10}$$

96. صورت اور مخرج کا یہ عادِ اعظم ہے۔ دونوں کو اس پر تقسیم کریں۔

    $$\mathrm{GCD}=10$$

97. دونوں تقسیمیں واضح لکھیں۔

    $$\frac{-\frac{20}{10}}{\frac{10}{10}}$$

98. مخرج کی تقسیم معلوم کریں۔

    $$\frac{10}{10}=1$$

99. مختصر کسر لکھیں۔

    $$-2\times \frac{1}{1}$$

100. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$\left(-20\right)\times \frac{1}{10}=-2$$

101. حقیقی عددی سر کے صورت اور مخرج دونوں کو 10 پر تقسیم کریں۔

     $$-\frac{20}{10}=\frac{-\frac{20}{10}}{\frac{10}{10}}$$

102. حقیقی عددی سر کی کسر سادہ کریں۔

     $$-\frac{20}{10}=-2$$

103. امیجنری عددی سر کے صورت اور مخرج دونوں کو 10 پر تقسیم کریں۔

     $$\frac{50}{10}=\frac{\frac{50}{10}}{\frac{10}{10}}$$

104. امیجنری عددی سر کی کسر سادہ کریں۔

     $$\frac{50}{10}=5$$

105. مختصر حقیقی اور امیجنری اجزا یکجا کریں۔

     $$5\times i-2$$

106. z، w دونوں اصل مساواتوں میں جانچیں۔

     $$(9-i=9-i,i-1=i-1)$$

جواب

آخری جواب نیچے ہے۔