ریاضی دہم — مشق Worked examples · Example 19

مکمل سوال

درج ذیل عبارت کو سادہ کر کے اس کا حقیقی جزو اور امیجنری جزو الگ الگ معلوم کریں۔

مرحلہ وار حل

1. اصل کسر سے شروع کریں۔ ضربی معکوس میں صورت 1 ہوتا ہے۔

   $$\frac{3\times i+4}{2\times i+3}$$

2. مخرج کا مرافق معلوم کریں: حقیقی جزو برقرار اور امیجنری الجبری علامت الٹ دیں۔

   $$3-2\times i$$

3. مرافق کو اسی مرافق پر تقسیم کر کے ضرب دیں؛ یہ کسر 1 ہے۔

   $$\left(\frac{3-2\times i}{3-2\times i}\right)\times \left(\frac{3\times i+4}{2\times i+3}\right)$$

4. صورتیں آپس میں اور مخرج آپس میں ضرب دیں۔ قوس برقرار رکھیں۔

   $$\frac{\left(3-2\times i\right)\times \left(3\times i+4\right)}{\left(3-2\times i\right)\times \left(2\times i+3\right)}$$

5. پہلے صورت کا حساب کریں۔

6. پہلا قوس پھیلائیں: حقیقی جزو کو پورے دوسرے قوس سے، پھر امیجنری جزو کو اسی قوس سے ضرب دیں۔

   $$3\times i\times \left(3-2\times i\right)+4\times \left(3-2\times i\right)$$

7. ان دونوں حاصل ضرب کو پھیلائیں۔ چاروں ضربیں واضح رکھیں۔

   $$4\times 3+4\times \left(-1\right)\times 2\times i+3\times 3\times i+3\times \left(-2\right)\times ii$$

8. حقیقی ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

   $$4\times 3=12$$

9. حقیقی ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

   $$4\times \left(-1\right)\times 2\times i=-8\times i$$

10. امیجنری ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$3\times 3\times i=9\times i$$

11. امیجنری ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$3\times \left(-2\right)\times ii=-6\times i^2$$

12. یہ چار حاصل ضرب پھیلاؤ میں رکھیں۔

    $$12-8\times i+9\times i-6\times i^2$$

13. آخری جزو میں i² کی جگہ −1 رکھیں۔

    $$-6\times i^2=\left(-6\right)\times \left(-1\right)$$

14. اس کے عددی سر کو −1 سے ضرب دیں۔

    $$\left(-6\right)\times \left(-1\right)=6$$

15. الجبری علامت کا حساب کرنے کے بعد پھیلاؤ دوبارہ لکھیں۔

    $$12-8\times i+9\times i+6$$

16. حقیقی اجزا جمع رکھیں اور امیجنری اجزا سے i مشترک نکالیں۔

    $$12+6+i\times \left(-8+9\right)$$

17. حقیقی اجزا کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$12+6=18$$

18. امیجنری عددی سروں کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$-8+9=1$$

19. حاصل شدہ دونوں مجموعے a + bi میں رکھیں۔

    $$i+18$$

20. اب مخرج کا حساب الگ سے کریں۔

21. پہلا قوس پھیلائیں: حقیقی جزو کو پورے دوسرے قوس سے، پھر امیجنری جزو کو اسی قوس سے ضرب دیں۔

    $$2\times i\times \left(3-2\times i\right)+3\times \left(3-2\times i\right)$$

22. ان دونوں حاصل ضرب کو پھیلائیں۔ چاروں ضربیں واضح رکھیں۔

    $$3\times 3+3\times \left(-1\right)\times 2\times i+2\times 3\times i+2\times \left(-2\right)\times ii$$

23. حقیقی ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$3\times 3=9$$

24. حقیقی ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$3\times \left(-1\right)\times 2\times i=-6\times i$$

25. امیجنری ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$2\times 3\times i=6\times i$$

26. امیجنری ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$2\times \left(-2\right)\times ii=-4\times i^2$$

27. یہ چار حاصل ضرب پھیلاؤ میں رکھیں۔

    $$9-6\times i+6\times i-4\times i^2$$

28. آخری جزو میں i² کی جگہ −1 رکھیں۔

    $$-4\times i^2=\left(-4\right)\times \left(-1\right)$$

29. اس کے عددی سر کو −1 سے ضرب دیں۔

    $$\left(-4\right)\times \left(-1\right)=4$$

30. الجبری علامت کا حساب کرنے کے بعد پھیلاؤ دوبارہ لکھیں۔

    $$9-6\times i+6\times i+4$$

31. حقیقی اجزا جمع رکھیں اور امیجنری اجزا سے i مشترک نکالیں۔

    $$9+4+i\times \left(-6+6\right)$$

32. حقیقی اجزا کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$9+4=13$$

33. امیجنری عددی سروں کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$-6+6=0$$

34. حاصل شدہ دونوں مجموعے a + bi میں رکھیں۔

    $$0\times i+13$$

35. مخرج کا امیجنری عددی سر صفر ہے، اس لیے مخرج حقیقی ہے۔

    $$13=13$$

36. حاصل صورت کو حاصل مخرج پر رکھیں۔

    $$\frac{i+18}{13}$$

37. حقیقی اور امیجنری جزو کو اسی مخرج والی دو کسروں میں الگ کریں۔

    $$\frac{18}{13}+\frac{i}{13}$$

38. i کو عددی کسر سے باہر رکھیں۔

    $$\frac{18}{13}+\left(\frac{1}{13}\right)\times i$$

39. حقیقی عددی سر کی کسر سادہ کریں۔

    $$\frac{18}{13}=\frac{18}{13}$$

40. امیجنری عددی سر کی کسر سادہ کریں۔

    $$\frac{1}{13}=\frac{1}{13}$$

41. مختصر حقیقی اور امیجنری اجزا یکجا کریں۔

    $$\frac{i}{13}+\frac{18}{13}$$

42. منفی قوت مقلوب مانگتی ہے۔ پہلے مقلوب نکالیں۔

    $$\frac{1}{\frac{i}{13}+\frac{18}{13}}=\frac{1}{\frac{i}{13}+\frac{18}{13}}$$

43. اصل کسر سے شروع کریں۔ ضربی معکوس میں صورت 1 ہوتا ہے۔

    $$\frac{1}{\frac{i}{13}+\frac{18}{13}}$$

44. مخرج کا مرافق معلوم کریں: حقیقی جزو برقرار اور امیجنری الجبری علامت الٹ دیں۔

    $$\frac{18}{13}-\frac{i}{13}$$

45. مرافق کو اسی مرافق پر تقسیم کر کے ضرب دیں؛ یہ کسر 1 ہے۔

    $$\left(\frac{\frac{18}{13}-\frac{i}{13}}{\frac{18}{13}-\frac{i}{13}}\right)\times \left(\frac{1}{\frac{i}{13}+\frac{18}{13}}\right)$$

46. صورتیں آپس میں اور مخرج آپس میں ضرب دیں۔ قوس برقرار رکھیں۔

    $$\frac{\frac{18}{13}-\frac{i}{13}}{\left(\frac{18}{13}-\frac{i}{13}\right)\times \left(\frac{i}{13}+\frac{18}{13}\right)}$$

47. پہلے صورت کا حساب کریں۔

48. 1 سے ضرب مرافق کو نہیں بدلتی۔

    $$\frac{18}{13}-\frac{i}{13}=\frac{18}{13}-\frac{i}{13}$$

49. اب مخرج کا حساب الگ سے کریں۔

50. پہلا قوس پھیلائیں: حقیقی جزو کو پورے دوسرے قوس سے، پھر امیجنری جزو کو اسی قوس سے ضرب دیں۔

    $$\frac{i\times \left(\frac{18}{13}-\frac{i}{13}\right)}{13}+\frac{\frac{324}{13}-\frac{18\times i}{13}}{13}$$

51. ان دونوں حاصل ضرب کو پھیلائیں۔ چاروں ضربیں واضح رکھیں۔

    $$\frac{18}{13}\times \frac{18}{13}+\frac{-18\times i}{169}+\frac{18\times i}{169}+\frac{-i^2}{169}$$

52. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{18\times 1}{1\times 13}$$

53. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$\frac{18}{13}$$

54. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$18\times \frac{1}{13}=\frac{18}{13}$$

55. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{18\times 18}{13\times 13}$$

56. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$\frac{324}{169}$$

57. حقیقی ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$\frac{18}{13}\times \frac{18}{13}=\frac{324}{169}$$

58. حقیقی ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$\frac{-18\times i}{169}=-\frac{18\times i}{169}$$

59. امیجنری ضرب حقیقی: عددی سر ضرب دیں۔

    $$\frac{18\times i}{169}=\frac{18\times i}{169}$$

60. امیجنری ضرب امیجنری: عددی سر ضرب دیں۔

    $$\frac{-i^2}{169}=-\frac{i^2}{169}$$

61. یہ چار حاصل ضرب پھیلاؤ میں رکھیں۔

    $$\frac{324}{169}-\frac{18\times i}{169}+\frac{18\times i}{169}-\frac{i^2}{169}$$

62. آخری جزو میں i² کی جگہ −1 رکھیں۔

    $$-\frac{i^2}{169}=\left(-\frac{1}{169}\right)\times \left(-1\right)$$

63. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{\left(-1\right)\times 1}{1\times 169}$$

64. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$-\frac{1}{169}$$

65. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(-1\right)\times \frac{1}{169}=-\frac{1}{169}$$

66. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{\left(-1\right)\times \left(-1\right)}{169\times 1}$$

67. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$\frac{1}{169}$$

68. اس کے عددی سر کو −1 سے ضرب دیں۔

    $$\left(-\frac{1}{169}\right)\times \left(-1\right)=\frac{1}{169}$$

69. الجبری علامت کا حساب کرنے کے بعد پھیلاؤ دوبارہ لکھیں۔

    $$\frac{324}{169}-\frac{18\times i}{169}+\frac{18\times i}{169}+\frac{1}{169}$$

70. حقیقی اجزا جمع رکھیں اور امیجنری اجزا سے i مشترک نکالیں۔

    $$\frac{324}{169}+\frac{1}{169}+i\times \left(-\frac{18}{169}+\frac{18}{169}\right)$$

71. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{324\times 1}{1\times 169}$$

72. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$324\times \frac{1}{169}=\frac{324}{169}$$

73. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{1\times 1}{1\times 169}$$

74. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$1\times \frac{1}{169}=\frac{1}{169}$$

75. یہ کسریں جمع کرنے کے لیے پہلے مخرجوں کا ذواضعافِ اقل مشترک مخرج لیں۔

    $$\mathrm{LCD}=169$$

76. اس صورت اور مخرج دونوں کو یکساں عامل سے ضرب دیں۔ قیمت برقرار رہتی ہے۔

    $$\frac{324}{169}=\frac{324\times 1}{169\times 1}$$

77. اس صورت اور مخرج دونوں کو یکساں عامل سے ضرب دیں۔ قیمت برقرار رہتی ہے۔

    $$\frac{1}{169}=\frac{1\times 1}{169\times 1}$$

78. مشترک مخرج برقرار، الجبری علامات سمیت صورتیں جمع کریں۔

    $$\frac{324+1}{169}=\frac{325}{169}$$

79. صورت اور مخرج کا یہ عادِ اعظم ہے۔ دونوں کو اس پر تقسیم کریں۔

    $$\mathrm{GCD}=13$$

80. دونوں تقسیمیں واضح لکھیں۔

    $$\frac{\frac{325}{13}}{\frac{169}{13}}$$

81. صورت کی تقسیم معلوم کریں۔

    $$\frac{325}{13}=25$$

82. مخرج کی تقسیم معلوم کریں۔

    $$\frac{169}{13}=13$$

83. مختصر کسر لکھیں۔

    $$\frac{25}{13}$$

84. حقیقی اجزا کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$\frac{324}{169}+\frac{1}{169}=\frac{25}{13}$$

85. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{\left(-18\right)\times 1}{1\times 169}$$

86. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$-\frac{18}{169}$$

87. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$\left(-18\right)\times \frac{1}{169}=-\frac{18}{169}$$

88. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

    $$\frac{18\times 1}{1\times 169}$$

89. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

    $$\frac{18}{169}$$

90. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

    $$18\times \frac{1}{169}=\frac{18}{169}$$

91. اس صورت اور مخرج دونوں کو یکساں عامل سے ضرب دیں۔ قیمت برقرار رہتی ہے۔

    $$-\frac{18}{169}=\frac{\left(-18\right)\times 1}{169\times 1}$$

92. اس صورت اور مخرج دونوں کو یکساں عامل سے ضرب دیں۔ قیمت برقرار رہتی ہے۔

    $$\frac{18}{169}=\frac{18\times 1}{169\times 1}$$

93. مشترک مخرج برقرار، الجبری علامات سمیت صورتیں جمع کریں۔

    $$\frac{-18+18}{169}=\frac{0}{169}$$

94. صورت اور مخرج کا یہ عادِ اعظم ہے۔ دونوں کو اس پر تقسیم کریں۔

    $$\mathrm{GCD}=169$$

95. دونوں تقسیمیں واضح لکھیں۔

    $$\frac{\frac{0}{169}}{\frac{169}{169}}$$

96. صورت کی تقسیم معلوم کریں۔

    $$\frac{0}{169}=0$$

97. مخرج کی تقسیم معلوم کریں۔

    $$\frac{169}{169}=1$$

98. مختصر کسر لکھیں۔

    $$0\times \frac{1}{1}$$

99. امیجنری عددی سروں کا مجموعہ معلوم کریں۔

    $$-\frac{18}{169}+\frac{18}{169}=0$$

100. حاصل شدہ دونوں مجموعے a + bi میں رکھیں۔

     $$0\times i+\frac{25}{13}$$

101. مخرج کا امیجنری عددی سر صفر ہے، اس لیے مخرج حقیقی ہے۔

     $$\frac{25}{13}=\frac{25}{13}$$

102. حاصل صورت کو حاصل مخرج پر رکھیں۔

     $$\frac{\frac{18}{13}-\frac{i}{13}}{\frac{25}{13}}$$

103. حقیقی اور امیجنری جزو کو اسی مخرج والی دو کسروں میں الگ کریں۔

     $$\frac{18}{25}+\frac{-\frac{i}{13}}{\frac{25}{13}}$$

104. i کو عددی کسر سے باہر رکھیں۔

     $$\frac{18}{25}+\left(-\frac{1}{25}\right)\times i$$

105. حقیقی عددی سر کے صورت اور مخرج دونوں کو 13 پر تقسیم کریں۔

     $$\frac{234}{325}=\frac{\frac{234}{13}}{\frac{325}{13}}$$

106. حقیقی عددی سر کی کسر سادہ کریں۔

     $$\frac{18}{25}=\frac{18}{25}$$

107. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

     $$\frac{\left(-13\right)\times 1}{1\times 325}$$

108. ان دونوں ضربوں کا الگ حساب کریں۔

     $$-\frac{13}{325}$$

109. دونوں تقسیمیں واضح لکھیں۔

     $$\frac{-\frac{13}{13}}{\frac{325}{13}}$$

110. صورت کی تقسیم معلوم کریں۔

     $$-\frac{13}{13}=-1$$

111. مختصر کسر لکھیں۔

     $$-\frac{1}{25}$$

112. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$\left(-13\right)\times \frac{1}{325}=-\frac{1}{25}$$

113. امیجنری عددی سر کے صورت اور مخرج دونوں کو 13 پر تقسیم کریں۔

     $$-\frac{13}{325}=\frac{-\frac{13}{13}}{\frac{325}{13}}$$

114. کسروں کی ضرب میں صورتوں کو آپس میں اور مخرجوں کو آپس میں ضرب دیں۔

     $$\frac{\left(-1\right)\times 1}{1\times 25}$$

115. باقی اجزا ملانے سے پہلے یہ عمل کریں۔

     $$\left(-1\right)\times \frac{1}{25}=-\frac{1}{25}$$

116. امیجنری عددی سر کی کسر سادہ کریں۔

     $$-\frac{1}{25}=-\frac{1}{25}$$

117. مختصر حقیقی اور امیجنری اجزا یکجا کریں۔

     $$\frac{18}{25}-\frac{i}{25}$$

118. اب مستقل جزو Re(z)، i کا عددی سر Im(z) پڑھیں۔

     $$(\mathrm{Re}=\frac{18}{25},\mathrm{Im}=-\frac{1}{25})$$

جواب

آخری جواب نیچے ہے۔